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【高中数学拓展】斯特林公式证明 环球报道
来源: 哔哩哔哩      时间:2023-06-18 05:06:47

高中生自行整理,如有错误,欢迎指出,不胜感激。


(相关资料图)

斯特林公式(Stirling's approximation)是一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式。一般来说,阶乘的计算复杂度为线性。当要为某些极大大的n求阶乘时,常见的方法复杂度不可接受。斯特林公式能够将求解阶乘的复杂度降低到对数级。而且,即使在n很小的时候,斯特林公式的取值已经十分准确。

斯特林公式如下:

我们已经知道ln(1+x)与ln(1-x)的泰勒展开:

设x=1/(2n+1) ,n=1,2,3,···,得:

所以上式子就变为了:

而右边的式子<

因为左式显然>1,所以有

取一下指数:

设一下:那么

由上面的不等式知道: 所以该数列其实是单调递减的,且显然一定有下界0

那么该数列的极限一定存在,不妨设为a

最终得到:我们能看出来左右两个数列是单调递增的。

而,所以

两边取下指数:

那么游戏就进行到了一半,现在可以得出结论:

把前面的an带进去:

Wallis圆周率无穷乘积公式:

将前面的结论n变成2n:

带回到极限中:

所以

大功告成,代回我们之前的结论:即斯特林公式。

n很大的时候:

所以

斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值,对于概率论的发展也有着重大的意义。在数学分析中,大多都是利用Г函数、级数和含参变量的积分等知识进行证明或推导,很为繁琐冗长。近年来,一些国内外学者利用概率论中的指数分布、泊松分布、χ²分布证之。

以下是一个计算斯特林公式的近似值的代码。(使用Python语言):

请注意,斯特林公式是一个近似公式,对于较大的n,它的近似值更加准确。

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